ricordando le formule nel campo elettrico
\begin{equation}
\vec{\nabla} \ext \vec{E} = 0
\end{equation}
\begin{equation}
\oint \vec{E} \cdot d\vec{r}=0
\end{equation}

i contributi del campo elettrico in un volumetto si elidono e si deve
avere che
\begin{equation}
0 = \vec{E}_1 \codt \hat{t} l + \vec{E}_2 \cdoc (-\hat{t} l) +
 \Theta(d)\\
\Rightarrow \vec{E}_1 \codt \hat{t} = \vec{E}_2 \cdoc \hat{t}
 \hspace{1cm} \forall \hat{t}
\end{equation}
cio\'e nei seni
\begin{equation}
E_1 \sin{\Theta_1}=E_2 \sin{\Theta_2}
\end{equation}

vale anche la legge $\vec{\nabla}\cdot \vec{D} = \rho$ e si ha
\begin{equation}
\oint_\Sigma \vec{D} \cdot d\vec{Sigma} = Q_\Sigma
\end{equation}

prendiamo una scatoleta con $\Sigma_L$ del lato e $\Sigma_B$ della base
e ci mettiamo nella condizione in cui $\Sigma_L << \Sigma_B$. $\hat{n}_1$
\`e la normale alla superfice $1$ mentre $\hat{n}_2$ \`e la normale alla
superfice $2$ dove $\hat{n}_1 = - \hat{n}_2$. Valgono le formule che
\begin{equation}
Q_\Sigma= \Sigma_B \vec{D}_2 \cdot \hat{n}_1 + \Sigma_B \vec{D}_1 \cdot
 \hat{n}_2 + \Theta(\Sigma_L)
\end{equation}

definiamo $\sigma$ \`e la densit\`a superficiale di carica libera (non
di polarizzazione). Allora si ha
\begin{equation}
\vec{D}_2 \cdot \hat{n}_1 + \vec{D}_1 \cdot \hat{n}_2 = \sigma
\end{equation}
o equivale
\begin{equation}
\vec{D}_{2 \hat{n}_1} - \vec{D}_{1 \hat{n}_1} = \sigma
\end{equation}
o equivalentemente
\begin{equation}
\vec{D}_{1 \hat{n}_2} - \vec{D}_{2 \hat{n}_2} = + \sigma
\end{equation}

Ricordando che $\vec{D}= \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$ si ha
\begin{equation}
\epsilon_0 (E_{2n_1} - E_{1 n_1}) + P_{2n_1} - P_{1 n_1}=\sigma 
\end{equation}
riscrivendo
\begin{equation}
E_{2n_1} - E_{1 n_1}= \frac{\sigma}{\epsilon_0} + \frac{P_{2n_1} - P_{1 n_1}}{\epsilon_0}
\end{equation}
dove le componenti
\begin{equation}
P_{1n_1} = \vec{P}_1 \cdot \hat{n}_1 = \sigma_{P1}
\end{equation}
\begin{equation}
P_{2n_2} = \vec{P}_2 \cdot \hat{n}_1 = \sigma_{P2}
\end{equation}

e si ha che
\begin{equation}
E_2 \cos{\Theta_2} - E_1 \cos{\Theta_1}= \frac{\sigma}{\epsilon_0} +
 \frac{\sigma_{P1} -\sigma_{P2}}{\epsilon_0}
\end{equation}

da $\vec{D} = \epsilon_0 \kappa \vec{E}$
\begin{equation}
\epsilon_0 \kappa_2 E_{2 n_1} - \epsilon_0 \kappa_1 E_{1 n_1} = \sigma
 = 0
\end{equation}
in assenza di cariche libere
\begin{equation}
\kappa_2 E_2 \cos{\Theta_2} = \kappa_1 E_1 \cos{Theta_1}
\end{equation}
e vale per qualsiasi dielettrico, non solo quelli lineari.

\`e una spece di legge di Snell dove
\begin{equation}
\frac{\tan{\Theta_2}}{\tan{\Theta_1}} = \frac{\kappa_2}{\kappa_1}
\end{equation}
dove il campo elettrico si avvicina se passa da un mezzo con kappa
maggiore ad uno minore ($\kappa_2 > \kappa_1$)



Adesso vediami l'applicazione nel caso di un dielettrico in cui sia
presente una cavit\`a
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r}) = \vec{E}_c(\vec{r}) + \vec{E}_b(\vec{r}) \hspace{1cm} \forall
\end{equation}
se so calcolare il campo origianrio e il campo dovuto alla parte che ho
tolto, la cavit\`a, posso
\begin{equation}
\vec{E}_c(\vec{r}) = \vec{E}(\vec{r}) - \vec{E}_b(\vec{r}) \hspace{1cm} \forall
\end{equation}
dove $\E_b$ \`e il campo nel vuoto.

Consideriamo due casi:
- cavit\`a cilidrica
- cavit\`a sferica

Calcolare il campo $E_b$ \`e tutto come fosse che il campo fosse dovuto
a due dischi carichi ai lati del cilindro carichi $-\sigma_P$ e
$+\sigma_P$ dove
\begin{equation}
\sigma_P = \hat{n} \cdot \vec{P}
\end{equation}
allora il campo vale
\begin{equation}
\vec{E}_b = - \hat{n} \frac{\sigma_P}{\epsilon_0} (1 - \cos{\Theta}) = -
 \frac{\vec{P}}{\espilon_0} (1 - \cos{\Theta})
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\cos{\Theta} = \frac{\frac{h}{2}}{\sqrt{R^2 + \left( \frac{h}{2}
\right)^2}}
\end{equation}
allora il campo nella cavit\`a vale

CASO $R>>h$

\begin{equation}
\vec{E}_c (Q) = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{\epsilon_0}
\end{equation}
e se il dielettrico \`e lineare $\vec{P} = (\kappa-1) \epsilon_0
\vec{E}$
\begin{equation}
\vec{E}_c (Q) = \kappa \vec{E}
\end{equation}
il campo \`e pi\`u grande dato che $\kappa >1$.

Se il dielettrico con la cavit\`a, il campo elettrico deve compensare la
mancanza del campo $E_b$ dato dal buco.

vale che
\begin{equation}
\vec{D}_c (Q)= \epsilon_0 \vec{E} + 0 = \epsilon_0 \kappa \vec{E} = \vec{D}
\end{equation}
il vettore $\vec{D}$ non varia nel buco o nel dielettrico, il che \`e
consistente

CASO $R<<h$

in questo caso si ha che
\begin{equation}
\Theta \approx \frac{R}{\frac{h}{2}} = \frac{2 R}{h}= 1 - \frac{2
 R^2}{h^2} + \Theta\left( \left( \frac{R}{h} \right)^4 \right)
\end{equation}
dove l'ultimo termine \`e dato dallo sviluppo in serie

\begin{equation}
\vec{E}_c(Q) = \vec{E} + \frac{\vec{P} 2 R^2}{h^2 \epsilon_0} = \vec{E}
 \left( 1 + (\kappa -1)\frac{2 R^2}{h^2} \right) \approx \vec{E}
\end{equation}
dato dall'assunzione di $R<<h$ e l'ultimo termine si \`e assunto il
dielettrico lineare, omogeneo, isotropo.


Spiegando in un'altro modo questo risultato:
\begin{equation}
0 = \oint \vec{\xi} \cdot d\vec{r} = \vec{E}_c \cdot \vec{AB} + \int_V^D
 \vec{E}_{ext} \codt d\vec{r}
\end{equation}
e si ha
\begin{equation}
\vec{E} = \frac{1}{\abs{\vec{A B}}} \int_C^D  \vec{E}_{ext} \codt
 d\vec{r} = <\! \vec{E}_{ext} \!>
\end{equation}
e come fosse una media sull'intera lunghezza del campo del capo
esterno. Si vede la media del campo esterno.


\subsubsection{Caso cavit\`a sferica, esempio 4.23 del libro}
Preambolo:
Vogliamo calocalre il potenziale di un dipolo elettrico. Se il campo \`e
uniforme si ha che il potenziale vale
\begin{equation}
V = - \vec{r} \cdot \vec{E}_0 + \frac{\vec{r} \cdot \vec{P}}{4 \pi
 \epsilon_0 \vec{r}^3} = \vec{r} \cdot \left( \frac{\vec{P}}{4 \pi
 \epsilon_0 \vec{r}^3} - \vec{E}_0 \right)
\end{equation}
nel caso in cui vale $\vec{P}= P \hat{z}$, $\vec{E}_0= E_0 \hat{z}$ si ha
\begin{equation}
V(\vec{r})=  \left( \frac{\vec{P}}{4 \pi \epsilon_0 \vec{r}^3} -
\vec{E}_0 \right) r \cos{Theta} + V_0
\end{equation}

Esiste un $R$ particolare per cui
\begin{equation}
R: V(\vec{r})\big|_{r=R} = V_0
\end{equation}
con
\begin{equation}
R = \left( \frac{\vec{P}}{4 \pi \epsilon_0 E_0}\right)^{\frac{1}{3}}
\end{equation}
cio\'e \`e ina superfice equipotenziale e si ha
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r}) = - \vec{nabla} V(\vec{r})
\end{equation}
e anche
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r})\big|_{r=R} = - \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} \biggr|_{r=R}
\end{equation}
e vale solo in questo caso particolare. Si ricava allora che
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r})\big|_{r=R} = \hat{r} \cos{Theta} \left[ \frac{ 2 P}{4
\pi \epsilon_0 r^3} + \vec{E}_0 \right] \biggr|_{r=R} = 3 E_0
\cos{\Theta} \hat{r}
\end{equation}
campo elettrico sulla superfice sferica di raggio $R$.

Prendiamo una sfera conduttrice di raggio $R$ in mezzo ad un campo
elettrico $E_0$. All'interno il campo \`e nullo e sulla superfice il
campo sar\`a perpendicolare. Fuori dalla sfera deve obbedire alla legge
di Gauss e fuori si ha
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} =0
\end{equation}
o la stesa cosa
\begin{equation}
\nabla^2 V =0
\end{equation}

se gradiente ortogonale ad una supefice chiusa qualsiasi allora la soluzione \`e
unica. Queste condizioni sono dette \emph{Condizioni al contorno di Von
Neumann}.

Visto che vale il teorema vale allora sappiamo che per $r>R$  il
potenziale \`e nullo, sulla superfice \`e ortogonale alla stessa e
all'interno????

Il campo $E$ di una sfera condittrice scarica di raggio $R$ in un campo
$E_0$ \`e euqivalente ad una sfera che genera il campo $E_0$ pi\`u un
dipolo con
\begin{equation}
P = 4 \pi \epsilon_0 R^3 E_0
\end{equation}

sappiamo che il campo appena fuori la superfice vale
\begin{equation}
\vec{E} = \hat{r} \cdot \frac{\sigma}{epsilon_0}
\end{equation}
quindi la densit\`a di carica che si genera sulla superfice della sfera
vale
\begin{equation}
\sigma(\Theta) = \epsilon_0 \vec{E}(\vec{r}) \big|_{r=R} \cot \hat{r} =
 3 \epsilon_0 E_0 \cos{\Theta}
\end{equation}
con valori compresi tra
\begin{equation}
- 3 \epsilon_0 E_0 < \sigma(\Theta) < 3 \epsilon_0 E_0
\end{equation}

per il principio di sovrapposizione il capo esterno $E_0$ pi\`u il
campo generato dalla distribuzione della densit\`a di carica sulla
superfice della sfera deve essere nullo. Per cui all'interno si forma un
capo elettrico
\begin{equation}
\vec{E} = \vec{NS} \frac{\sigma_0}{3 \sigma_0}
\end{equation}

fuori come un bipolo, all'iterno il contrario
